Chuông đồng hồ báo thức reo. Bạn liếc nhìn cái đồng hồ. 6.30 sáng rồi. Bạn chưa trèo ra khỏi giường ngủ, có ít nhất sáu phương trình toán học đã ảnh hưởng đến cuộc sống của bạn rồi. Con chip nhớ lưu giờ trong cái đồng hồ của bạn không thể nào được nghĩ ra nếu như không có một phương trình quan trọng trong cơ học lượng tử. Giờ của nó được lập bởi một tín hiệu vô tuyến chúng ta sẽ không bao giờ dám mơ tới phát minh ra nếu không có bốn phương trình điện từ học của James Clerk Maxwell. Và bản thân tín hiệu báo thức truyền đi theo cái gọi là phương trình sóng.
Chúng ta sống trôi nổi trên một đại dương ẩn của những phương trình. Chúng tác dụng trong sự đi lại, trong hệ thống tài chính, sức khỏe, trong phòng chống và phát hiện tội phạm, trong truyền thông, thực phẩm, nước, đun nấu và thắp sáng. Bước vào vòi tắm là bạn hưởng thụ từ phương trình dùng để điều chỉnh nguồn cấp nước. Bữa sáng ngũ cốc của bạn có từ những cánh đồng được gieo trồng với sự hỗ trợ của các phương trình thống kê. Lái xe đi làm thì thiết kế khí động lực học của chiếc xe của bạn một phần là nhờ các phương trình Navier-Stokes mô tả những dòng không khí chuyển động phía trên và xung quanh nó như thế nào. Bật hệ thống định vị trên xe một lần nữa liên quan đến vật lí lượng tử, cộng với các định luật Newton về chuyển động và lực hấp dẫn, cái giúp phóng các vệ tinh địa tĩnh và lập quỹ đạo của chúng. Nó còn sử dụng những phương trình tạo số ngẫu nhiên để định thời gian tín hiệu, các phương trình lượng giác để tính toán vị trí, và thuyết tương đối đặc biệt và thuyết tương đối tổng quát để theo dõi chính xác chuyển động của vệ tinh dưới lực hấp dẫn của Trái đất.
Không có các phương trình, phần lớn công nghệ của chúng ta sẽ không bao giờ được phát minh ra. Tất nhiên, những phát minh quan trọng như lửa và bánh xe đã xuất hiện mà không cần chút kiến thức toán học nào. Nhưng nếu không có phương trình, chúng ta sẽ bị mắc cạn trong một thế giới trung cổ.
Các phương trình còn vươn ra ngoài tầm công nghệ nữa. Không có chúng, chúng ta sẽ không có kiến thức vật lí chi phối thủy triều, sóng vỗ trên biển, thời tiết biến đổi liên tục, chuyển động của các hành tinh, lò luyện hạt nhân của các sao, xoắn ốc của các thiên hà – sự mênh mông của vũ trụ và vị trí của chúng ta trong đó.
Có hàng nghìn phương trình quan trọng. Ở đây, tôi tập trung vào bảy phương trình – phương trình sóng, các phương trình Maxwell, biến đổi Fourier và phương trình Schrödinger – minh họa những quan sát theo lối kinh nghiệm đã dẫn tới những phương trình mà chúng ta sử dụng cả trong khoa học và trong cuộc sống hàng ngày như thế nào.
Trước tiên là phương trình sóng. Chúng ta sống trong một thế giới đầy sóng. Tai của chúng ta phát hiện ra sóng áp suất trong không khí dưới dạng âm thanh, và mắt của chúng ta phát hiện sóng ánh sáng. Khi một trận động đất lan tới một thành phố, sự tàn phá là do sóng địa chấn chuyển động trong Trái đất.
Các nhà toán học và nhà khoa học có thể dễ dàng nghĩ tới sóng, nhưng điểm xuất phát của họ có từ nghệ thuật: làm thế nào sợi dây đàn violin tạo ra âm thanh? Câu hỏi đó có từ thời Pythagoras ở Hi Lạp cổ đại, người đã tìm thấy nếu hai sợi dây cùng loại và sức căng có chiều dài tuân theo một tỉ số đơn giản, ví dụ 2:1 hoặc 3:2, thì chúng tạo ra những nốt nghe êm ái lạ thường. Những tỉ số phức tạp hơn thì không êm dịu và khó nghe. Chính nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli đã bắt đầu khai thác ý nghĩa của những quan sát này. Vào năm 1727, ông đã mô phỏng một sợi dây đàn violin là rất nhiều chất điểm đặt gần nhau, liên kết với nhau bằng những lò xo. Ông đã sử dụng các định luật Newton viết ra những phương trình chuyển động của hệ, và rồi giải chúng. Từ nghiệm thu được, ông kết luận rằng hình dạng đơn giản nhất cho một sợi dây dao động là một đường cong hình sin. Đồng thời cũng có những mốt dao động khác nữa – những đường hình sin trong đó nhiều hơn một sóng khớp với chiều dài của dây, cái các nhạc sĩ gọi là họa âm.
Từ sóng đến không dây
Gần 20 năm sau đó, Jean Le Rond d'Alembert đã làm một việc tương tự, nhưng ông tập trung vào việc đơn giản hóa các phương trình chuyển động thay vì nghiệm của chúng. Cái xuất hiện là một phương trình đẹp mô tả hình dạng của sợi dây thay đổi như thế nào theo thời gian. Đây là phương trình sóng, và nó phát biểu rằng gia tốc của một đoạn nhỏ bất kì của sợi dây tỉ lệ với lực căng tác dụng lên nó. Nó gợi ý rằng những sóng có tần số không theo những tỉ lệ đơn giản tạo ra một tiếng nhiễu ù ù khó nghe gọi là “phách”. Đây là nguyên nhân vì sao những tỉ số đơn giản mang lại những nốt nghe êm dịu.
Có thể sửa đổi phương trình sóng để xử lí những hiện tượng phức tạp, hỗn độn hơn, ví dụ như động đất. Những phiên bản phức tạp của phương trình sóng cho phép các nhà địa chấn học phát hiện ra cái đang xảy ra ở sâu hàng trăm dặm dưới chân chúng ta. Họ có thể lập bản đồ các mảng kiến tạo của Trái đất khi một mảng trượt bên dưới mảng kia, gây ra động đất và núi lửa. Phần thưởng to lớn nhất trong lĩnh vực này là một phương pháp đáng tin cậy dự báo động đất và núi lửa phun, và nhiều phương pháp đã và đang được khảo sát với sự hỗ trợ của phương trình sóng.
Nhưng cái sáng suốt nhất thu từ phương trình sóng là từ nghiên cứu hệ phương trình điện từ học của Maxwell. Vào năm 1820, đa số mọi người thắp sáng nhà cửa bằng những ngọn nến và đèn lồng. Nếu bạn muốn gửi đi một tin nhắn, bạn viết một lá thư và đặt nó lên một xe hàng ngựa kéo; với những tin nhắn khẩn cấp, bạn vứt cái xe hàng đi. Trong vòng 100 năm thôi, nhà cửa và phố xá đã có đèn điện, điện báo mang tin nhắn có thể truyền xuyên lục địa, và người ta còn bắt đầu nói chuyện với nhau qua điện thoại. Sự truyền thông vô tuyến đã được chứng minh trong phòng thí nghiệm, và một nhà doanh nghiệp đã thành lập một xưởng bán “công nghệ không dây” cho công chúng.
Cuộc cách mạng xã hội và công nghệ này ra đời bởi những khám phá của hai nhà khoa học. Vào khoảng năm 1830, Michael Faraday đã thiết lập cơ sở vật lí của điện từ học. Ba mươi năm sau đó, James Clerk Maxwell đã bắt tay vào thiết lập một cơ sở toán học cho các thí nghiệm và lí thuyết của Faraday.
Lúc ấy, đa số các nhà vật lí nghiên cứu lực điện và lực từ đang tìm kiếm sự tương tự với lực hấp dẫn, cái họ xem là một lực tác dụng giữa các vật từ xa. Faraday có một ý tưởng khác: để giải thích một loạt thí nghiệm ông đã tiến hành về lực điện và lực từ, ông cho rằng cả hai hiện tượng là những trường thấm đầy không gian, thay đổi theo thời gian và có thể phát hiện ra qua những lực mà chúng sinh ra. Faraday xây dựng lí thuyết của ông theo những cấu trúc hình học, ví dụ như các đường sức từ.
Maxwell đã phát biểu lại những quan điểm này bằng sự tương tự với cơ sở toán học của dòng chất lưu. Ông lí giải rằng các đường sức là cái tương tự với đường đi của các phân tử của một chất lưu và độ lớn của điện trường hoặc từ trường là cái tương tự với vận tốc của chất lưu. Vào năm 1864, Maxwell đã viết ra bốn phương trình cho những tương tác cơ bản giữa điện trường và từ trường. Hai phương trình cho chúng ta biết rằng lực điện và lực từ không thể rò rỉ. Hai phương trình kia cho chúng ta biết khi một vùng điện trường quay theo một vòng tròn nhỏ, nó tạo ra một từ trường, và một vùng từ trường xoáy tròn tạo ra một điện trường.
Nhưng cái Maxwell làm tiếp sau đó mới là bất ngờ. Bằng cách thực hiện một vài thao tác đơn giản trên các phương trình của ông, ông đã thành công trong việc suy luận ra phương trình sóng và kết luận rằng ánh sáng phải là một sóng điện từ. Chỉ riêng một điều này thôi đã là một tin vô cùng quan trọng, vì không ai từng nghĩ tới một mối liên hệ như thế giữa ánh sáng, lực điện và lực từ. Và chưa hết. Ánh sáng có những màu sắc khác nhau, tương ứng với những bước sóng khác nhau. Những bước sóng mà chúng ta thấy bị hạn chế bởi cơ chế hóa học của những sắc tố cảm thụ ánh sáng của mắt. Các phương trình Maxwell đưa đến một tiên đoán ngoạn mục – có tồn tại những sóng điện từ thuộc mọi bước sóng. Một số sóng điện từ, với bước sóng dài hơn nhiều so với cái chúng ta có thể nhìn thấy, sẽ làm biến chuyển thế giới: sóng vô tuyến.
Vào năm 1887, Heinrich Hertz đã chứng minh sóng vô tuyến trên thực nghiệm, nhưng ông không thành công trong việc đánh giá đúng ứng dụng mang tính cách mạng nhất của chúng. Nếu bạn có thể đưa một tín hiệu vào một sóng như vậy, bạn có thể nói chuyện với thế giới. Nikola Tesla, Guglielmo Marconi và nhiều người khác đã biến ước mơ đó thành hiện thực, và toàn bộ hạ tầng của truyền thông hiện đại, từ radio và truyền hình đến radar và các đường truyền vi ba cho điện thoại di động, đã ra đời một cách tự nhiên. Và tất cả đều khởi mầm từ bốn phương trình và hai phép toán ngắn. Các phương trình Maxwell không những làm biến đổi thế giới. Chúng còn mở ra một thế giới mới.
Cũng quan trọng như cái các phương trình Maxwell làm được là cái chúng không làm được. Mặc dù các phương trình Maxwell cho biết ánh sáng là sóng, nhưng các nhà vật lí sớm nhận ra rằng hành trạng của nó thỉnh thoảng thật lạ khi nhìn với quan điểm này. Chiếu ánh sáng lên một kim loại thì nó tạo ra dòng điện, một hiện tượng gọi là hiệu ứng quang điện. Hiện tượng đó chỉ có thể giải thích nếu ánh sáng hành xử giống như hạt. Vậy thì ánh sáng là sóng hay là hạt? Thật ra, nó là cả hai. Vật chất được tạo ra từ các sóng lượng tử, và một bó sóng liên kết chặt tác dụng giống như một hạt.
Chết hay sống
Vào năm 1927, Erwin Schrödinger đã viết ra một phương trình cho những sóng lượng tử. Nó phù hợp với những thí nghiệm một cách tuyệt vời đồng thời vẽ nên một bức tranh của một thế giới rất khác lạ, trong đó những hạt sơ cấp như electron không phải là vật thể rõ ràng, mà là những đám mây xác suất. Spin của electron giống như một đồng tiền có thể nửa sấp nửa ngữa cho đến khi nó rơi xuống bàn. Không lâu sau đó, các nhà lí thuyết lại lo lắng không yên trước mọi tính chất lạ lượng tử, ví dụ những con mèo vừa sống vừa chết, và những vũ trụ song song trong đó Adolf Hitler là kẻ chiến thắng cuộc chiến tranh thế giới lần thứ hai.
Cơ học lượng tử không bị ràng buộc với những bí ẩn triết lí như vậy. Hầu như mọi vật dụng hiện đại – máy vi tính, điện thoại di động, máy chơi game, xe hơi, tủ lạnh, lò vi sóng – đều chứa những con chip nhớ gốc transistor, dụng cụ có sự hoạt động dựa trên cơ học lượng tử của chất bán dẫn. Những công dụng mới cho cơ học lượng tử xuất hiện gần như hàng tuần. Các chấm lượng tử - những miếng nhỏ xíu của một chất bán dẫn – có thể phát ra ánh sáng thuộc mọi màu sắc và được sử dụng để ghi ảnh sinh học, trong đó chúng thay thế cho những chất nhuộm truyền thống, thường là độc hại. Các kĩ sư và nhà vật lí đang cố gắng phát minh ra máy vi tính lượng tử, một dụng cụ có thể thực hiện song song nhiều phép tính khác nhau, giống hệt như con mèo vừa sống vừa chết.
Laser là một ứng dụng nữa của cơ học lượng tử. Chúng ta sử dụng chúng để đọc thông tin từ những lỗ nhỏ li ti trên đĩa CD, DVD và đĩa Blu-ray. Các nhà thiên văn sử dụng laser để đo khoảng cách từ Trái đất đến mặt trăng. Thậm chí có thể phóng những tên lửa vũ trụ lên từ Trái đất với sức đẩy là một chùm laser mạnh.
Chương cuối trong câu chuyện này có xuất xứ từ một phương trình giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của sóng. Nó bắt đầu vào năm 1807, khi Joseph Fourier nghĩ ra một phương trình cho dòng nhiệt. Ông đã gửi một bài báo về nói về nó đến Viện hàn lâm Khoa học Pháp nhưng bị từ chối. Vào năm 1812, viện hàn lâm Pháp đưa vấn đề nhiệt thành đề tài của giải thưởng hàng năm của viện. Fourier lại gửi một bài báo dài hơn, có hiệu chỉnh – và đã giật giải.
Cái hấp dẫn nhất của bài báo giành giải thưởng của Fourier không phải là phương trình, mà là cách ông giải nó. Một bài toán điển hình là tìm xem nhiệt độ dọc theo một thanh mỏng thay đổi như thế nào theo thời gian, cho biết trước đặc điểm nhiệt độ ban đầu. Fourier có thể giải phương trình này một cách nhẹ nhàng nếu như nhiệt độ biến thiên như một sóng hình sin dọc theo chiều dài thanh. Vì thế, ông biểu diễn một đặc trưng phức tạp hơn là sự kết hợp của những đường hình sin với bước sóng khác nhau, giải phương trình cho mỗi đường cong hình sin thành phần, và cộng tất cả những nghiệm này lại với nhau. Fourier khẳng định phương pháp này đúng cho mọi đặc trưng nhiệt độ bất kì, thậm chí đúng cả với trường hợp trong đó nhiệt độ có giá trị nhảy cóc. Tất cả những gì phải làm là cộng gộp một số vô hạn những đóng góp từ những đường cong hình sin với tần số lớn dần.
Dẫu vậy, bài báo mới của Fourier đã bị chỉ trích là không đủ chặt chẽ, và một lần nữa viện hàn lâm Pháp từ chối đăng tải. Vào năm 1822, Fourier phớt lờ mọi phản đối và cho công bố lí thuyết của ông dưới dạng một quyển sách. Hai năm sau đó, ông tự bổ nhiệm mình làm thư kí của viện hàn lâm, dí mũi của ông vào những kẻ chỉ trích ông, và cho đăng bài báo gốc của ông trong tập san của viện. Tuy nhiên, những người chỉ trích chưa chịu dừng lại. Các nhà toán học bắt đầu nhận ra rằng những chuỗi vô hạn là những thứ nguy hiểm; chúng không luôn luôn hành xử giống như những tổng hữu hạn, đẹp đẽ. Việc giải quyết những vấn đề này hóa ra là hết sức khó khăn, nhưng phán quyết cuối cùng là quan điểm của Fourier có thể được làm cho chặt chẽ bằng cách ngoại suy ra những đặc trưng rất không đều. Kết quả là phép biến đổi Fourier, một phương trình xem một tín hiệu biến thiên theo thời gian là tổng của một chuỗi những đường cong hình sin thành phần và tính ra biên độ và tần số của chúng.
rường phái Pythagoras đã tính được những cái gì làm cho sợi dây phát ra âm thanh du dương.
Ngày nay, phép biến đổi Fourier ảnh hưởng đến cuộc sống của chúng ta theo vô số kiểu. Chẳng hạn, chúng ta có thể sử dụng nó để phân tích tín hiệu dao động tạo ra bởi một trận động đất và để tính ra những tần số mà năng lượng truyền bởi mặt đất chấn động là lớn nhất. Một bước tiến tới xây dựng những công trình chịu được động đất là đảm bảo rằng tần số riêng của công trình khác với tần số của động đất.
Những ứng dụng khác bao gồm việc loại tạp âm ra khỏi những bản ghi âm cũ, tìm kiếm cấu trúc của ADN bằng ảnh chụp tia X, cải thiện sự thu nhận vô tuyến và ngăn cản những dao động không mong muốn ở xe hơi. Thêm một ứng dụng nữa mà đa số mọi người chúng ta sử dụng thường xuyên mà không để ý, đó là chụp ảnh kĩ thuật số.
Nếu bạn tính xem cần bao nhiêu thông tin để biểu diễn màu sắc và độ sáng của mỗi pixel trong một bức ảnh kĩ thuật số, bạn sẽ phát hiện ra rằng một chiếc camera kĩ thuật số nhồi nhét vào thẻ nhớ của nó lượng dữ liệu nhiều gấp mười lần cái thẻ nhớ có thể chứa. Camera làm công việc này bằng cách sử dụng sự nén dữ liệu JPEG gồm năm bước nén khác nhau. Một trong số chúng là một phiên bản kĩ thuật số của phép biến đổi Fourier, nó hoạt động với một tín hiệu không thay đổi theo thời gian mà thay đổi từ đầu này qua đầu kia bức ảnh. Cơ sở toán học hầu như là giống hệt. Bốn bước còn lại tiếp tục làm giảm dữ liệu thêm nữa, đến khoảng bằng một phần mười lượng ban đầu.
Đây mới chỉ là bảy trong nhiều phương trình mà chúng ta bắt gặp hàng ngày, nhưng không nhận ra chúng đang hiện diện ở đấy. Nhưng sự tác động của những phương trình này đối với lịch sử thì sâu sắc hơn nhiều. Một phương trình thật sự mang tính cách mạng có thể có sự tác động đối với sự tồn tại của loài người lớn hơn cả mọi nhà vua và hoàng hậu có mưu đồ choán đầy những quyển sử học của chúng ta.
Có (hoặc có thể có) một phương trình, trên hết thảy, mà các nhà vật lí và nhà vũ trụ học đặt hết niềm tin yêu vào đấy: một lí thuyết của tất cả thống nhất cơ học lượng tử và thuyết tương đối. Nổi tiếng nhất trong số nhiều ứng cử viên là lí thuyết siêu dây. Nhưng như mọi người chúng ta đều biết, các phương trình của chúng ta cho thế giới vật chất có lẽ chỉ là những phiên bản đơn giản hóa không bắt giữ được cấu trúc sâu sắc của thực tại. Ngay cả nếu tự nhiên có tuân theo những định luật vạn vật, thì chúng có thể không được biểu diễn dưới dạng những phương trình.
Một số nhà khoa học nghĩ rằng đã đến lúc chúng ta từ bỏ những phương trình truyền thống để theo đuổi những thuật toán – những công thức khái quát hơn để tính toán mọi thứ, kể cả việc ra quyết định. Nhưng cho đến những ngày ấy, nếu có, sự hiểu biết sâu sắc nhất của chúng ta về các định luật của tự nhiên sẽ tiếp tục có dạng thức những phương trình, và chúng ta sẽ học cách tìm hiểu chúng và thích ứng với chúng. Các phương trình có thành tựu của chúng, Chúng thật sự đã làm biến chuyển thế giới và chúng sẽ lại tiếp tục làm thế giới biến chuyển.
Nguồn gốc của các phương trình
Người Babylon và Hi Lạp cổ đại đã biết về những phương trình, mặc dù họ viết chúng bằng lời và bằng hình ảnh. Trong 500 năm qua, các nhà toán học và nhà khoa học đã sử dụng những kí hiệu, và một kí hiệu quan trọng chính là cái dấu bằng nhau. Lạ thay, chúng ta biết ai phát minh ra nó, và tại sao nữa. Chính là Robert Recorde, người vào năm 1557 đã viết ra chuyên luận The Whetstone of Witte: "Để tránh lặp lại một cách nhạt nhẽo những từ này: bằng với, tôi sẽ viết nó dưới dạng một kiểu tôi thường làm: một cặp song song…”
Định lí và lí thuyết
Một số phương trình biểu diễn mối liên hệ lôgic giữa những đại lượng toán học, và nhiệm vụ của nhà toán học là chứng minh chúng là đúng. Những phương trình khác cung cấp thông tin về một đại lượng chưa biết; nhiệm vụ ở đây là giải phương trình và tìm biến chưa biết đó. Các phương trình toán học thuần túy thường thuộc loại thứ nhất: chúng cho biết những khuôn mẫu và những quy tắc trong toán học. Định lí Pythagoras, một phương trình biểu diễn theo ngôn ngữ hình học, là một ví dụ. Với những giả thiết hình học cơ bản của Euclid thì định lí Pythagoras là đúng.
Các phương trình trong toán học ứng dụng và vật lí toán thường thuộc loại thứ hai. Chúng biểu diễn những tính chất của vũ trụ mà, trên nguyên tắc, có thể không như thế. Ví dụ, định luật hấp dẫn Newton cho chúng ta biết cách tính lực hút giữa hai vật thể. Giải phương trình thu được cho chúng ta biết các hành tinh quay xung quanh mặt trời như thế nào hoặc làm thế nào vẽ quỹ đạo cho một tàu thám hiểm vũ trụ. Nhưng định luật Newton không phải là một định lí toán học; định luật hấp dẫn có thể khác đi. Thật vậy, nó đã khác đi: thuyết tương đối tổng quát của Einstein đã nâng cấp lí thuyết của Newton. Và dẫu thế, lí thuyết đó cũng không thể là ngôn từ cuối cùng.
Theo New Scientist